Álgebra, su enseñanza y aprendizaje: Temas de Álgebra

CONCEPTO DE ÁLGEBRA

Es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.El Álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores.Así a representa el valor que nosotros asignemos y por tanto puede representar 20 o más de 20 o menos de 20, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado esa letra no puede representar , en el mismo problema , otro valor distinto del que hemos asignado.

ORIGEN DEL ÁLGEBRA

Las raíces del álgebra pueden rastrearse hasta la antigua matemática babilónica, que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algorítmica. Con el uso de este sistema lograron encontrar fórmulas y soluciones para resolver problemas que hoy en día suelen resolverse mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indeterminadas.

AUTORES DEL ÁLGEBRA

La palabra "álgebra" es el nombre de la palabra árabe "Al-Jabr, " en el título del libro al-Kitab al-muḫtaṣar fi al-Gabr ḥisāb wa-l-muqābala, escrito por el matemático persa islámico, Muhammad ibn Musa Al-Khwārizmī, en 820. La palabra Al-Jabr significa "reducción". Para ciertos autores Al-Khwārizmī es el "padre del álgebra", aunque otros reservan este título al matemático helenístico Diophantus.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de suficiente más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. n el siglo IX, el matemático al-Jwrizm; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar la x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2.

Un tercio de un número: x/3.

Un cuarto de un número: x/4.

Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..

Un número al cuadrado: x²

Un número al cubo: x³

Dos números consecutivos: x y x + 1.

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.

La suma de dos números es 24: x y 24 − x.

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.

El producto de dos números es 24: x y 24/x.

El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.

ELEMENTOS DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

LiteralSignoExponente

ORDENAMIENTO DE POLINOMIOS

LENGUAJE ALGEBRAICO

En lenguaje álgebraico nace en la civilización musulmán en el período de Al–khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra. el lenguaje álgebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje álgebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.

Para poder manejar el lenguaje algebraico es necesario comprender lo siguiente:

Se usan todas las letras del alfabeto.
Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi.
Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o expresión álgebraica.

LENGUAJE COMÚN

GRADO DE POLINOMIO

Puede ser absoluto y con relación a una letra. el grado absoluto de un polinomio es el grado su termino de mayor grado con relación a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio.

TIPOS DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS

ENTEROS: cuando no tienen letras en el denominador

Ejemplos: 3ax³ 3x² 25kx
4

FRACCIONARIOS: cuando tienen letras en el denominador

Ejemplos: 3am 2ax²y 98oj³
4d n a²b³

RACIONALES: cuando no tienen ninguna letra bajo signo radical

Ejemplos: 5ab 25ab√29 8mn√5
√95

IRRACIONALES: cuando tienen letras bajo un signo radical

Ejemplos: 5√x 25mn√32m 8xy
√j

SEMEJANTES: son los que tienen la misma parte literal, o sea las mismas letras y cada letra con el mismo exponente.

Ejemplos: a) 3x²; -5x²; 91x²; 35x²

b) 5√y³; 85√y³; 0.36√y³

c)4m² n³; 85 m² n³;3/5 m² n³

HETEROGÉNEOS: son los de distinto grado absoluto, como 5a, que es de primer grado y 3a² que es de segundo grado.

TÉRMINOS SEMEJANTES

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

MONOMIO ENTRE MONOMIO.
Para dividir dos monomios se aplica la ley de signos para la división y la ley de los exponentes correspondientes a la división.

DIVISIÓN DE POLINOMIO.
En este caso se aplica la propiedad distributiva se divide a cada elemento del polinomio dividiendo entre el monomio divisor.

REGLA PARA DIVIDIR POLINOMIOS.
Se divide el cociente del dividendo entre el coeficiente del divisor a continuación se escriben en orden alfabético las letras poniéndole a cada letra.
REPORTE DEL TRABAJO EN CLASE DE MATEMÁTICAS DE LA PROFESORA: ANA GABRIELA.

El día 6 de Marzo del 2013, mis compañeros y yo fuimos de práctica a la Escuela Primaria

“Lic. Adolfo López Mateos”, al llegar nos dio la bienvenida las profesoras que recibían a los alumnos, nos dijeron que esperáramos a la directora de la escuela en la dirección, las instalaciones de la escuela están en muy buenas condiciones.

Al llegar la directora, nos presentamos con ella, nos dijo que era un gusto que estemos practicando en la escuela, nos asigno el grado para observar e interferir con el grupo. , después de presentarnos con ella y darnos la bienvenida, nos coloco en los grupos, lo cual me puso algo nerviosa y a la vez muy feliz, ya que me anhelaba estar con los niños.

Me toco 2 grupo C, los niños no estaban en el aula, puesto que estaban en clase de computación, me presente con la profesora le comente cual era mi objetivo al venir a la escuela y con el grupo, la profesora me dio la bienvenida, pasamos al salón, pude notar que el aula habían pegado en las paredes las tablas de multiplicar del 1 al 10, un árbol lector, donde el árbol tenia manzanas dibujadas con las fotos de los niños, donde cada libro que leyeran , la profesora colocaba un confeti a su manzanita y tenían el rincón de lectura. Platicamos en lo que llegaban los alumnos de la clase, le pregunte cuantos años lleva de servicio, e contesto que 2 años, ya que para ella es un obstáculo incorporarse bien, puesto que no tiene la suficiente practica, después pregunte como era la forma en que estaban organizados los niños, ella los distribuye en equipos, donde su participación es individual, aportando ideas del equipo en que están integrados, dice que aprenden mejor en equipo. Me enseño la planeación del bloque que están impartiendo, lo revise y me pareció bueno, la estructura y las actividades que llevan están bien planeadas.

Pregunte si tenía clase me matemáticas ese día, me contesto que no, tenían: español, Ciencias Naturales y Educación Física. Llegaron los niños, me presente con ellos y cual era el motivo de mi visita. La profesor comenzó con la clase de español, los alumnos traían elaborado un cartel de los temas: bullying, contaminación, y los derechos de los niños, observe que no todos tenían su información bien estructurada, pero los oriente a que corrigieran un poco, mientras tanto la profesora les daba indicaciones de la actividad, donde pasarían exponer su cartel, tenían que ponerse de acuerdo como lo presentarían.

Ayude a los alumnos a ponerse de acuerdo y como pasarían a exponerlo, pensé que tenían el conocimiento de una exposición y cual era mas o menos la actividad, pero note a los alumnos muy confusos, pero muy motivados a realizarlo.

Comenzaron las exposiciones, pero no sabían que hacer al momento de que estaban enfrente, fue cuando me di cuenta que la profesora no les dio el conocimientos de lo que iban a hacer ni como era una exposición, cuando pasaban lo alumnos la profesora los regañaba por no hacer las cosas bien, fue algo que me molesto, ya que ellos no tenían la culpa de que no se les indicara antes cual era el plan y el objetivo de esta actividad. Algunos alumnos se sintieron desmotivados, pero les di palabras de motivación de que su exposición estuvo muy bien solo que hubo algunos inconvenientes pero todo muy bien. Observe las actitudes de los niños , son muy motivadoras a la hora de participar y trabajar en equipo, tienen un ritmo rápido y preciso de realizar las actividades, en exposiciones son algo nerviosos al momento de hablar, también pude contrastar que aprenden mejor de manera didáctica (exposiciones, cartulinas, dibujos, etc.), escuchando opiniones de otros compañeros y las explicaciones de la profesora, el nivel de aprendizaje es bueno, aunque los comportamientos no sean los adecuados en aprendizajes están muy bien.

PRODUCTOS NOTABLES.

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados , y recíprocamente.

TRIANGULO DE PASCAL

Es una representación de los coeficientes biominales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.²

La construcción del triángulo está relacionada con los coeficientes binomiales según la fórmula (también llamada Regla de Pascal). Si $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$ entonces ${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$ para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n.

PASOS PARA FACTORIZAR.

1) Deben haber 3 términos y ordenarlos en potencias decrecientes.
2) dos términos son cuadrados perfectos
3) El otro termino es el doble producto de las raíces cuadradas de las demás.

EXPOSICIÓN DEL LIBROS DE MATEMÁTICAS DE PRIMERO A SEXTO GRADO DE PRIMARIA.

PROPÓSITO: PREPARACIÓN DE EXPOSICIÓN DE LOS CONTENIDOS DE PENSAMIENTO NUMÉRICO Y ALGEBRAICO , FORMA ESPACIO Y MEDIDA , MANEJO DE INFORMACIÓN.

Libro de primer grado: consta de 5 bloque mediante los cuales las actividades propuestas te brindan estrategias para desarrollar tu pensamiento matemático.

Aprendizajes esperados: comparo y ordena números de cuatro cifras
utiliza el calculo mental al restar dígitos y múltiplos de 10 menos un dígito.
obtiene de manera rápida los productos de dígito para resolver problemas.

UNIDAD III: "COMPORTAMIENTO DE FUNCIONES LINEALES CUADRÁTICAS Y RACIONALES"

FUNCIÓN IMPLÍCITA Y EXPLICITA.
Se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de $\mathbb{R}^2$ entre las variables x e y:

$y^3 + y^2 + 5xy + x^2 + x + y = 0 \,$

Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:

Dada una función $F(x,y) \,$ , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: $\frac{dy}{dx} = f'(x)$ .

Si consideramos $y = f \left ( x \right )$ es una función en términos de la variable independiente x y $G \left ( y \right )$ es una función en términos de la variable dependiente y, dado que $y = f \left ( x \right )$ , entonces para obtener la derivada:

$D_x \left ( G \left ( y \right ) \right ) = D_x \left ( G \left ( f \left ( x \right ) \right ) \right ) = G' \left ( f \left ( x \right ) \right ) \left ( f' \left ( x \right ) \right )$

FUNCION EXPLICITA:

Una función explicita es aquella donde es posible despejar a la variable dependiente, por ejemplo:

y = x (una linea recta)

y = x^2 (una parabola)

y = 2x + 1

TIPOS DE ECUACIONES.
Polinómicas (son aquellas en las que cada uno de sus miembros están formados por monomios o polinomios, por ejemplo x² - x - 1 = 3x -1).

Si el mayor grado es 1 se dice que es una ecuación de primer grado. Por ejemplo: 4x - 5 = 3x

Si el mayor grado es 2 se dice que es una ecuación de segundo grado. Por ejemplo: x² + 1 = 2

Racionales (cuando aparece el cociente de polinomios, por ejemplo (x+1)/(x-1)=4/x)

Irracionales (cuando las incógnitas forman parte de alguna raíz).

Exponenciales (cuando las incógnitas forman parte de algún exponente, por ejemplo 2^x=8).

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS en las que la incógnita esta afectada por una función trigonométrica como estas son periódicas, habrá por lo general infinitas soluciones.

FUNCIONES CRECIENTE Y DECRECIENTE.

Una función $f$ es creciente es un intervalo si para cualquier par de números $x 1,x 2$ del intervalo. $x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ .
Una fución $f$ es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números $x 1,x 2$ del intervalo, $x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ .

Sea f una función continua con ecuación $y = f(x)$ , definida en un intervalo $[a,b]$ . La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo $[a,b]$ .

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1.) Creciente en los intervalos $(a,x3),(x5,x6)$

2.) Decreciente en los intervalos $(x3,x5),(x6,b)$

Criterio de crecimiento y decrecimiento

Sea $f$ una función continua en el intervalo cerrado $\left [ a,b\right ]$ y derivable en el intervalo abierto $\left (a,b\right )$ .

Si ${f}'(x)>0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f$ es creciente en $\left [ a,b \right ]$
Si ${f}'(x)<0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f$ es decreciente en $\left [ a,b \right ]$
Si ${f}'(x)=0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f$ es constante en $\left [ a,b \right ]$

SISTEMA DE ECUACIONES CON 2 VARIABLES.

Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y , consiste de dos ecuaciones de la forma:

donde a,b,c,d,r y s son constantes.

El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema.